ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98406
Темы:    [ Раскраски ]
[ Разные задачи на разрезания ]
[ Четность и нечетность ]
[ Таблицы и турниры (прочее) ]
Сложность: 3-
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

У Игоря и Вали есть по белому квадрату 8×8, разбитому на клетки 1×1. Они закрасили по одинаковому числу клеток на своих квадратах в синий цвет. Докажите, что удастся так разрезать эти квадраты на доминошки 2×1, что и из доминошек Игоря и из доминошек Вали можно будет сложить по квадрату 8×8 с одной и той же синей картинкой.


Решение

  Докажем даже больше, чем требуется в условии: как бы Игорь и Валя ни разрезали свои квадраты на доминошки, они всегда смогут составить квадраты с одинаковыми картинками.
  Доминошки могут быть трёх сортов: белые, синие и двухцветные. Пусть Игорь и Валя отложат в сторону те доминошки, которые у них совпадают. После этого у них должно остаться поровну как синих, так и белых клеток. Ясно, что у одного из них (пусть у Игоря) останутся только двухцветные доминошки, а у другого – только белые и синие. Синих и белых клеток у Игоря поровну, значит у Вали – тоже. Тогда у неё чётное число доминошек, значит, у Игоря тоже. Но из каждой пары двухцветных доминошек можно сложить такой же квадратик, что и из одной синей и одной белой. Такие квадратики и отложенные доминошки будут совершенно одинаковыми наборами деталек у Игоря и Вали.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1998/1999
Номер 20
вариант
Вариант осенний тур, основной вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .