ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98416
Тема:    [ НОД и НОК. Взаимная простота ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

а) Докажите, что если  НОК(a, a + 5) = HOK(b, b + 5)  (a, b – натуральные), то  a = b.
б) Могут ли  НОК(a, b)  и  НОК(а + с, b + с)  быть равны? (a, b, c – натуральные.)


Решение

  а) Первый способ. Так как  НОД(a + 5, a)  делит также и разность  (a + 5) – a = 5,  то он может равняться только 5 или 1. То же верно и для  HOД(b, b + 5).
  Заметим, что  НОД(a, a + 5) = 5  тогда и только тогда, когда  НОК(a, a + 5)  делится на 5. Поэтому из равенства  НОК(a, a + 5) = HOK(b, b + 5)  следует равенство  НОД(a, a + 5) = HOД(b, b + 5),  а значит, и равенство  a(a + 5) = b(b + 5)  (как известно,  НОК(m, n)·НОД(m, n) = mn.  Теперь ясно, что  a = b  (если, например,  a < b,  то  a + 5 < b + 5  и  a(a + 5) < b(b + 5).  Противоречие.)
  Второй способ. См. б).

  б) Предположим, что такие числа существуют. Можно считать, что  HOД(a, b, c) = 1  (в противном случае все числа можно сократить на общий делитель).
  Обозначим  m = HOK(a + c, b + c),  d = HOД(a + c, b + c).  Так как  HOK(a + c, b + c) = НОК(a, b) ≤ ab < (a + c)(b + c),  то  d > 1.  ab делится на m, а m, в свою очередь, делится на d, то есть ab делится на d. Поэтому либо a, либо b (пусть a) имеет общий делитель  δ > 1  с числом d. Но тогда числа
c = (a + c) – a  и  b = (b + c) – c  также делятся на δ. Мы получили противоречие с условием  HOД(a, b, c) = 1.


Ответ

б) Не могут.

Замечания

В 8-9 классах предлагался только пункт а) (4 балла), в 10-11 классах – оба пункта (2 + 3 балла).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1998/1999
Номер 20
вариант
Вариант осенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 1
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1998/1999
Номер 20
вариант
Вариант осенний тур, основной вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .