Задача 98426

Темы:    [ Принцип Дирихле (углы и длины) ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]

Сложность: 3 Классы: 6,7,8

Условие

Автор: Произволов В.В.

Квадрат разрезали 18 прямыми, из которых девять параллельны одной стороне квадрата, а девять – другой, на 100 прямоугольников. Оказалось, что ровно девять из них – квадраты. Докажите, что среди этих квадратов найдутся два равных между собой.

Решение

Если среди этих девяти квадратов нет двух квадратов одинакового размера, то они все лежат в разных столбцах и в разных строках, на которые разбили прямыми исходный квадрат. Но тогда прямоугольник, лежащий на пересечении десятой строки и десятого столбца (не содержащих эти девять квадратов) – тоже квадрат.

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	1998/1999
Номер	20
вариант
Вариант	весенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс
Задача
Номер	5