ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98427
Темы:    [ Периодичность и непериодичность ]
[ Линейные рекуррентные соотношения ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В ряд стоят 1999 чисел. Первое число равно 1. Известно, что каждое число, кроме первого и последнего, равно сумме двух соседних.
Найдите последнее число.


Решение

Обозначим наши числа через a1, a2, ..., a1999. Складывая равенства  an+1 = an+2 + an  и  an+2 = an+3 + an+1,  получим  an+3 + an = 0  или  an+3 = – an.  Отсюда  an+6 = – an+3 = an,  то есть последовательность имеет период 6. Поэтому  a1999 = a6·333+1 = a1 = 1.


Ответ

1.

Замечания

3 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1998/1999
Номер 20
вариант
Вариант весенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .