Задача 98427

Темы:    [ Периодичность и непериодичность ] [ Линейные рекуррентные соотношения ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Условие

Автор: Сендеров В.А.

В ряд стоят 1999 чисел. Первое число равно 1. Известно, что каждое число, кроме первого и последнего, равно сумме двух соседних.
Найдите последнее число.

Решение

Обозначим наши числа через a₁, a₂, ..., a₁₉₉₉. Складывая равенства  a_n+1 = a_n+2 + a_n  и  a_n+2 = a_n+3 + a_n+1,  получим  a_n+3 + a_n = 0,  или  a_n+3 = – a_n.  Отсюда  a_n+6 = – a_n+3 = a_n,  то есть последовательность имеет период 6. Поэтому  a₁₉₉₉ = a_6·333+1 = a₁ = 1.

Ответ

1.

Замечания

3 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	1998/1999
Номер	20
вариант
Вариант	весенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
Задача
Номер	1