Задача 98449

Темы:    [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Признаки подобия ] [ Задачи на проценты и отношения ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Автор: Шаповалов А.В.

В треугольнике точку пересечения биссектрис соединили с вершинами, в результате он разбился на 3 меньших треугольника. Один из меньших треугольников подобен исходному. Найдите его углы.

Решение

Углы "меньшего" треугольника, подобного исходному, равны углам исходного треугольника. В то же время два из трёх его углов равны половинам углов исходного треугольника. Поэтому углы исходного треугольника относятся, как  1 : 2 : 4.  Учитывая, что сумма этих углов равна π, получаем ответ.

Ответ

^π/₇, ^2π/₇, ^4π/₇.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	1999/2000
Номер	21
вариант
Вариант	осенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
Задача
Номер	1