|
|
 |
Условие
а) Несколько чёрных квадратов со стороной 1 см прибиты к белой плоскости одним гвоздём толщины 0,1 см (гвоздь не задевает границ квадратов). Образовалась многоугольная чёрная фигура. Может ли периметр этой фигуры быть больше 1 км?
б) Та же задача, но гвоздь имеет толщину 0 (то есть "пробивает" квадрат в точке).
в) Несколько чёрных квадратов со стороной 1 лежат на белой плоскости, образуя многоугольную чёрную фигуру (возможно, состоящую из нескольких кусков и имеющую дырки). Может ли отношение периметра этой фигуры к её площади быть больше 100000?
Решение
Лемма. Если все квадраты прибиты гвоздём толщины 2r, то для периметра P и площади S чёрной фигуры выполнено неравенство Pr ≤ 2S.
Доказательство. Соединив центр гвоздя с вершинами фигуры, мы разобьём её на треугольники с основаниями на периметре и высотой не менее r. Поэтому удвоенная площадь всей фигуры не меньше произведения r на сумму оснований этих треугольников (а она равна P).
Далее опущены единицы измерения: см и см².
а) Многоугольник лежит в круге радиуса центр которого совпадает с центром гвоздя, поэтому его площадь S < 2π. По лемме P ≤ 40π.
в) Разобьём плоскость на квадратные клетки со стороной Если центр чёрного квадрата лежит в некоторой клетке, то квадрат накрывает эту клетку целиком. Пусть есть всего N клеток, покрытых чёрной фигурой целиком. Занумеруем их по порядку и разобьём все квадраты на группы: первая – те, что покрывают клетку 1, вторая – те из оставшихся, что покрывают клетку 2, и т. д. (некоторые группы могут оказаться пустыми). Все квадраты одной группы можно прибить гвоздём радиуса
а площадь составленной из них фигуры меньше 2π, поэтому вклад каждой группы в периметр фигуры P меньше
Значит,
А площадь фигуры не меньше площади целиком покрытых клеток: S ≥ N/8. Отсюда
б) Первый способ. S < 2π ⇒ P < 1400π < 50 м.
Второй способ. Проведём окружность радиуса 0,44 с центром в общей точке. Эта окружность не достанет до двух наиболее удалённых от её центра сторон чёрного квадрата, и на ней есть дуга 90°, чьи точки отстоят от границы квадрата более чем на 0,05. Отметим четыре точки окружности через 90°, одна из них попадёт на упомянутую дугу. Вобьём четыре гвоздя толщины 0,1 в отмеченные точки. В каждый чёрный квадрат хотя бы один из гвоздей попадёт целиком. Теперь все квадраты прибиты гвоздями толщины 0,1, не задевающими их границ. Периметр фигуры из квадратов, прибитых каждым гвоздём, согласно а) не превосходит 40π, а общий периметр не превосходит их суммы, то есть 160π.
Ответ
а)-в). Не может.
Замечания
баллы: 5 + 5 + 5
