|
|
 |
Условие
Несколько прямых, никакие две из которых не параллельны, разрезают плоскость на части. Внутри одной из этих частей отметили точку A.
Докажите, что точка, лежащая с A по разные стороны от всех данных прямых, существует тогда и только тогда, когда часть, содержащая A, неограничена.
Решение
Пусть B – "противоположная" точка. Отрезок AB пересекает все прямые. Двигаясь по прямой AB от точки A в направлении, противоположном B, мы не встретим “препятствий” и уйдём на бесконечность.
Неограниченная часть, в которой лежит точка A, – выпуклая фигура, ограниченная линией, представляющей собой два расходящихся луча с общим началом или с разными началами, соединёнными ломаной. Рассмотрим угол с вершиной в A, стороны которого сонаправлены с упомянутыми лучами. Этот угол целиком лежит в области, и можно внутри него выбрать луч с началом в A, который не параллелен ни одной из прямых. Дополнительный луч к построенному пересекает все прямые. Отметим на нём за последним пересечением точку B. A и B лежат по разные стороны от каждой прямой.
Замечания
5 баллов
