ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98587
Темы:    [ Плоскость, разрезанная прямыми ]
[ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Несколько прямых, никакие две из которых не параллельны, разрезают плоскость на части. Внутри одной из этих частей отметили точку A.
Докажите, что точка, лежащая с A по разные стороны от всех данных прямых, существует тогда и только тогда, когда часть, содержащая A, неограничена.


Решение

  Пусть B – "противоположная" точка. Отрезок AB пересекает все прямые. Двигаясь по прямой AB от точки A в направлении, противоположном B, мы не встретим “препятствий” и уйдём на бесконечность.
  Неограниченная часть, в которой лежит точка A, – выпуклая фигура, ограниченная линией, представляющей собой два расходящихся луча с общим началом или с разными началами, соединёнными ломаной. Рассмотрим угол с вершиной в A, стороны которого сонаправлены с упомянутыми лучами. Этот угол целиком лежит в области, и можно внутри него выбрать луч с началом в A, который не параллелен ни одной из прямых. Дополнительный луч к построенному пересекает все прямые. Отметим на нём за последним пересечением точку B. A и B лежат по разные стороны от каждой прямой.

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2002/2003
Номер 24
вариант
Вариант осенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .