Саша и Маша загадали по натуральному числу и сообщили их Васе. Вася написал на одном листе бумаги сумму загаданных чисел, а на другом – их произведение, после чего один из листов спрятал, а другой (на нём оказалось написано число 2002) показал Саше и Маше. Увидев это число, Саша сказал, что не знает, какое число загадала Маша. Услышав это, Маша сказала, что не знает, какое число загадал Саша. Какое число загадала Маша?

   Решение

Пусть x, y, z – любые числа из интервала  (0, ^π/₂).  Докажите неравенство  

   Решение

Темы:    [ Тригонометрические неравенства ] [ Классические неравенства (прочее) ] [ Монотонность, ограниченность ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Пусть x, y, z – любые числа из интервала  (0, ^π/₂).  Докажите неравенство  

Решение

  Несложно преобразовать исходное неравенство к равносильному:   (x – y)(cos x – cos y) + (x – z)(cos x – cos z) +(y – z)(cos y – cos z) ≤ 0.
  Последнее верно, поскольку в силу убывания косинуса каждое из трёх слагаемых неположительно.

Замечания

1. Для знатоков. Доказываемое неравенство – частный случай неравенства Чебышёва (см. задачу 61386) при  n = 3,  x₁ = x,  x₂ = y,  x₃ = z,  y₁ = – cos x,
y₂ = – cos y,  y₃ = – cos z.

2. 5 баллов.

Источники и прецеденты использования