Задача 98593

Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Автор: Женодаров Р.Г.

Внутри треугольника ABC взята точка P так, что  ∠ABP = ∠ACP,  а  ∠CBP = ∠CAP. Докажите, что P – точка пересечения высот треугольника ABC.

Решение 1

Пусть прямая AP пересекает сторону BC в точке D, а прямая CP пересекает сторону AB в точке E (рис. слева).
∠DPE = 180° – (∠ACP + ∠CAP) = 180° – ∠B,  значит, четырёхугольник BDPE вписанный. Поэтому  ∠ADE = ∠PDE = ∠PBE = ∠ACE,  то есть четырёхугольник AEDC тоже вписанный. Следовательно,  ∠CEA = ∠ADC = 180° – ∠ADB = ∠CEB,  то есть CE – высота. Аналогично AD – высота.

Решение 2

Пусть прямая BP пересекает сторону AC в точке F, а описанную окружность – в точке K (рис. справа). Треугольники APC и AKC равны по стороне и двум углам, поэтому треугольник PAK равнобедренный и его биссектриса AF является высотой. Значит, BF – высота треугольника ABC. Треугольники ABF и ACE имеют общий угол A и равные углы ABF и ACE, следовательно,  ∠AFB = ∠AEC,  то есть CE – тоже высота.

Замечания

6 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	2002/2003
Номер	24
вариант
Вариант	осенний тур, основной вариант, 8-9 класс
Задача
Номер	4