|
|
 |
Условие
В треугольнике ABC взяли точку M так, что что радиусы описанных окружностей треугольников AMC, BMC и BMA не меньше радиуса описанной окружности треугольника ABC. Докажите, что все четыре радиуса равны.
Решение
Пусть R, RA, RB, RC – радиусы описанных окружностей соответственно треугольников ABC, BMC, AMC, BMA. Как известно,
BC = 2R sin∠A = 2RA sin∠BMC. По условию, R ≤ RA, значит, sin∠A ≥ sin∠BMC. При этом ∠BAC < ∠BMC (пусть прямая BM пересекает AC в точке P, тогда ∠BMC > ∠BPC > ∠A). Поскольку синусы углов, заключенных между ∠A и 180° – ∠A, больше sin∠A, то ∠BMC ≥ 180° – ∠A, и поэтому ∠A + ∠BMC ≥ 180°. Аналогично ∠B + ∠AM ≥ 180°, ∠C + ∠AMB ≥ 180°. Складывая, получим
540° = (∠A + ∠B + ∠C) + (∠BMC + ∠AMC + ∠AMB) ≥ 540°.
Следовательно, все неравенства должны быть равенствами, в частности, R = RA.
Замечания
1. 4 балла.
2. Верно и более общее утверждение.
Если треугольник разбит на три меньших треугольника так, что радиусы описанных окружностей меньших треугольников не меньше радиуса описанной окружности исходного, то все четыре радиуса равны.
Действительно, нетрудно доказать, что если разбиение происходит не с помощью внутренней точки, то хотя бы у одного из меньших треугольников радиус описанной окружности меньше R.
