Задача 98620

Темы:    [ Сфера, вписанная в тетраэдр ] [ Сфера, описанная около тетраэдра ] [ Геометрические неравенства (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Автор: Гальперин Г.А.

Дана треугольная пирамида ABCD. В ней R – радиус описанной сферы, r – радиус вписанной сферы, a – длина наибольшего ребра, h – длина наименьшей высоты (на какую-то грань). Докажите, что  ^R/_r > ^a/_h.

Решение

Очевидно,  2R ≥ a  (диаметр описанной сферы не меньше ребра) и  2r < h  (диаметр вписанной сферы меньше высоты). Отсюда получаем
^R/_r = ^2R/_2r ≥ ^a/_2r > ^a/_h.

Замечания

1. 4 балла.

2. Ср. с задачей 98615.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	2002/2003
Номер	24
вариант
Вариант	весенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Задача
Номер	1