Версия для печати
Убрать все задачи
В выпуклом шестиугольнике
ABCDEF все внутренние углы при вершинах
равны. Известно, что
AB = 3,
BC = 4,
CD = 5 и
EF = 1. Найдите длины
сторон
DE и
AF.
Решение
На плоскости дано бесконечное множество прямоугольников, вершины
каждого из которых расположены в точках с координатами (0, 0), (0,
m),
(
n, 0), (
n,
m), где
n и
m — целые положительные числа
(свои для каждого прямоугольника). Докажите, что из этих прямоугольников
можно выбрать два так, чтобы один содержался в другом.
Решение
Несколько человек в течение t минут наблюдали за улиткой. Каждый наблюдал за ней ровно 1 минуту и заметил, что за эту минуту улитка проползла ровно 1 метр. Ни в один момент времени улитка не оставалась без наблюдения. Какой наименьший и какой наибольший путь могла она проползти за эти t минут?
Решение
Докажите, что если для вписанного четырехугольника
ABCD
выполнено равенство
CD =
AD +
BC, то точка пересечения биссектрис
углов
A и
B лежит на стороне
CD.
Решение
Даны числа: 4, 14, 24, ..., 94, 104. Докажите, что из них нельзя вычеркнуть
сперва одно число, затем из оставшихся ещё два, затем ещё три и, наконец, ещё
четыре числа так, чтобы после каждого вычёркивания сумма оставшихся чисел
делилась на 11.
Решение
Написано 1992-значное число. Каждое двузначное
число, образованное соседними цифрами, делится на 17 или на 23.
Последняя цифра числа 1. Какова первая?
Решение
Из выпуклого многогранника с 9 вершинами, одна из которых
A, параллельными
переносами, переводящими
A в каждую из остальных вершин, образуется 8
равных ему многогранников. Докажите, что хотя бы два из этих 8 многогранников
пересекаются (по внутренним точкам).
Решение
Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в 10-м подъезде в квартире №333, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом девятиэтажный. На какой этаж ему следует подняться? (На каждом этаже число квартир одинаково, номера квартир в доме начинаются с единицы.)
Решение
Фильтр
