ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 105063
Темы:    [ Итерации ]
[ Возрастание и убывание. Исследование функций ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Кузнечик прыгает по отрезку [0,1]. За один прыжок он может попасть из точки x либо в точку x/31/2, либо в точку x/31/2+(1-(1/31/2)). На отрезке [0,1] выбрана точка a.
Докажите, что, начиная из любой точки, кузнечик может через несколько прыжков оказаться на расстоянии меньше 1/100 от точки a.

Решение

Пусть f:[0;1] —> [0;1], f(x)=x/31/2 и g: [0;1] --> [0;1], g(x)=1-((1-x))/31/2 - функции, отвечающие прыжкам кузнечика. Область значений f - отрезок [0;1/31/2], область значений g - отрезок [1-(1/31/2);1]. Каждый из этих отрезков имеет длину 1/31/2, и вместе они покрывают отрезок [0;1].

Пусть n - некоторое натуральное число. Рассмотрим всевозможные функции h1 (h2 (...(hn(x))...)): [0;1] —> [0;1], где каждая функция hi - либо f, либо g. Легко видеть, что область значений каждой из этих функций есть отрезок длины (1/31/2)n . Докажем индукцией по n, что эти отрезки покрывают отрезок [0;1]. Для n=1 это утверждение уже проверено. Предположим, что области значений всевозможных функций h1 (h2 (...(hk-1(x))...)) покрывают отрезок [0;1]. Фиксируем любую из функций h1 (h2 (...(hk-1(x))...)). Область значений этой функции покрывается областями значений функций h1 (h2 (...(hk-1(f(x)))...)) и h1 (h2 (...(hk-1(g(x)))...)). Тем самым утверждение доказано.

Пусть теперь на отрезке [0;1] выбрана точка a. Рассмотрим интервал (a-0,01; a+0,01) и покажем, что кузнечик сможет в него попасть. Выберем n столь большим, чтобы было выполнено неравенство (1/31/2)n < 0,01. По доказанному, можно выбрать функцию h1 (h2 (...(hn(x))...)) такую, что точка a принадлежит области ее значений. Тогда вся область значений рассматриваемой функции (отрезок длины (1/31/2)n ) лежит внутри интервала (a-0,01;a+0,01). Это означает, что из любой точки отрезка [0;1] кузнечик попадет внутрь интервала (a-0,01;a+0,01), выполнив последовательно прыжки, соответствующие функциям hn, hn-1, ..., h1 .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 62
Год 1999
вариант
Класс 10
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .