ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 105105
Темы:    [ Теория игр (прочее) ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Камни лежат в трёх кучках: в одной – 51 камень, в другой – 49 камней, а в третьей – 5 камней. Разрешается объединять любые кучки в одну, а также разделять кучку из чётного количества камней на две равные. Можно ли получить 105 кучек по одному камню в каждой?


Решение

Заметим, что если в некоторый момент количество камней в каждой кучке делится на нечётное число a, то и во всех получаемых разрешёнными действиями кучках количество камней будет делиться на a. После первого хода можно получить три варианта размещения камней: кучки из 100 камней и 5 камней (общий делитель 5), из 56 камней и 49 камней (общий делитель 7), из 51 камня и 54 камней (общий делитель 3). Поэтому не удастся получить ни одной кучки из одного камня.

Ответ

Нельзя.

Замечания

3 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2000/2001
Номер 22
вариант
Вариант весенний тур, основной вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 2
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 64
Год 2001
вариант
Класс 9
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .