ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 107728
Темы:    [ Вписанные многогранники ]
[ Выпуклые тела ]
[ Перестройки ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Многогранник вписан в сферу. Может ли оказаться, что этот многогранник невыпуклый? (Многогранник вписан в сферу, если все концы его рёбер лежат на сфере.)

Решение

Приведём пример невыпуклого многогранника, вписанного в сферу. Возьмём правильный октаэдр, опишем вокруг него сферу. Теперь возьмём две его соседние грани ABC и BCD, удалим их вместе с ребром ВС, а вместо этого добавим ребро AD и грани ABD и ACD. Отрезок ВС больше не принадлежит фигуре, поэтому она невыпуклая. Но вершины у этого многогранника, те же, что и у правильного октаэдра. Следовательно, многогранник вписанный.
Можно было действовать следующим образом. Возьмём куб и проделаем в нём "дырку" в виде прямоугольного параллелепипеда (сквозь две параллельные грани куба). Затем восемь точек, краёв "дырки", соединим рёбрами с ближайшими вершинами куба и "поднимем" ("опустим") их на сферу, описанную вокруг куба.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир им.Ломоносова
номер/год
Год 2002
Название конкурс по математике
Задача
Номер 7

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .