ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108008
Темы:    [ Вспомогательная окружность ]
[ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

AK – биссектриса треугольника ABC, P и Q – точки на двух других биссектрисах (или на их продолжениях) такие, что  PA = PK  и  QA = QK.
Докажите, что  ∠PAQ = 90° – ½ ∠A.


Решение

  Пусть точка P лежит на биссектрисе угла B, а точка Q – на биссектрисе угла C. По условию точка P лежит на серединном перпендикуляре l к отрезку AK. Прямая l имеет с прямой, на которой лежит биссектриса угла B, ровно одну общую точку, так как в противном случае две биссектрисы треугольника были бы параллельными или перпендикулярными, что невозможно (сумма двух углов треугольника меньше 180°). Таким образом, точка P определена однозначно.

  Опишем окружность вокруг треугольника ABK. Пусть луч BP вторично пересекает эту окружность в середине дуги AK. Эта середина также лежит на серединном перпендикуляре l и, следовательно, совпадает с точкой P. Значит,  ∠KAP = ∠PBK = ½ ∠B.  Аналогично ∠KAQ = ½ ∠C.
  Таким образом,  ∠PAQ = ∠KAP + ∠KAQ = ½ (∠B + ∠C) = 90° – ½ ∠A.

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4287
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1995/1996
Номер 17
вариант
Вариант осенний тур, основной вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .