ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108095
Темы:    [ Векторы помогают решить задачу ]
[ Скалярное произведение. Соотношения ]
[ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]
[ Поворот на 90° ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть M – точка пересечения медиан треугольника ABC . На перпендикулярах, опущенных из M на стороны BC , AC и AB , взяты точки A1 , B1 и C1 соответственно, причём A1B1 MC и A1C1 MB . Докажите, что точка M является точкой пересечения медиан и в треугольнике A1B1C1 .
Также доступны документы в формате TeX

Решение

Обозначим

=, =, =, =, =, =.

Пусть A2 , B2 и C2 – середины сторон BC , AC и AB соответственно. Тогда
= = · (+)= (-), = -,


= = · (+)= (-), = -.

По условию задачи следующие скалярные произведения равны 0 :
· = · = · = 0,


(-)· (-) = · 3= 3· =0,


(-)· (-) = · 3 = 3· = 0


· + · = · + · =0.

Поскольку =-- и =-- , то
0= · + · = (--)· + (--)· = -· - · .

Аналогично,
0= · + · = (--)· + (--)· = -· - · .

Докажем, что ++= (отсюда будет следовать, что M – точка пересечения медиан треугольника A1B1C1 ). Действительно,
· (++) = · +· =0,


· (++) = · +· =0,

а т.к. векторы и неколлинеарны, то ++=0


Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 66
Год 2003
вариант
Класс 10
задача
Номер 4
web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6215

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .