ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108100
Темы:    [ Вспомогательные равные треугольники ]
[ Многоугольники (прочее) ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В выпуклом семиугольнике A1A2A3A4A5A6A7 диагонали A1A3, A2A4, A3A5, A4A6, A5A7, A6A1 и A7A2 равны между собой. Диагонали A1A4, A2A5, A3A6, A4A7, A5A1, A6A2 и A7A3 тоже равны между собой. Обязательно ли этот семиугольник равносторонний?


Также доступны документы в формате TeX

Решение 1

Равнобедренные трегольники A1A3A5 и A3A5A7 равны по трём сторонам. Поэтому  ∠A3A1A5 = ∠A3A7A5,  то есть точки A1, A3, A5 и A7 лежат на одной окружности. Аналогично, на одной окружности лежат точки A3, A5, A7 и A2. Однако это – та же окружность. Так продолжая, получаем, что все вершины лежат на этой окружности. Ясно, что они делят её на семь равных дуг (например,  ⌣A1A2 = ⌣A1A4 – ⌣A2A4 = ⌣A2A5 – ⌣A3A5 = ⌣A2A3).  Таким образом, семиугольник не только равносторонний, но и правильный.


Решение 2

Равны все равнобедренные трегольники вида AiAi+2Ai+4 (см. рис.; мы считаем  A8 = A1A9 = A2  и т.д.). Поэтому равны все углы вида AiAi+3Ai+1 (как разности углов, равных AiAi+2Ai+4 и Ai+4AiAi+2). Значит, равны и все трегольники AiAi+3Ai+1 (по двум сторонам и углу между ними), и, следовательно, равны и все отрезки AiAi+1.


Ответ

Обязательно.


Также доступны документы в формате TeX

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6450
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 25
Дата 2003/2004
вариант
Вариант осенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .