Задача 108116

Темы:    [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Удвоение медианы ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Автор: Богданов И.И.

В треугольнике ABC медианы AD и BE пересекаются в точке M . Докажите, что если угол AMB а) прямой; б) острый, то AC+BC >3AB .

Решение

Пусть медианы AF и BG треугольника AMB пересекаются в точке N . Поскольку EM = BM = MF , то AM – медиана треугольника AEF . В треугольниках AMF и AME известно, что AM – общая сторона, ME = MF и AMF AME (по условию задачи). Значит, AF AE = AC . Поэтому

AN = AF · AC = AC.
Аналогично BN BC . По неравенству треугольника AN+BN > AB . Следовательно,
AC+BC 3AN + 3BN = 3(AN+BN) > 3AB.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6466
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	65
Год	2002
вариант
Класс	8
задача
Номер	5