ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108184
Темы:    [ Вспомогательная окружность ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Сонкин М.

В равнобедренном треугольнике ABC  (AC = BC)  точка O – центр описанной окружности, точка I – центр вписанной окружности, а точка D на стороне BC такова, что прямые OD и BI перпендикулярны. Докажите, что прямые ID и AC параллельны.


Решение

  Если данный треугольник равносторонний (точки O и I совпадают), то утверждение очевидно.
  Проведём высоту CE. Пусть точка O лежит между точками I и C  (∠B > 60°),  а прямые OD и BI пересекаются в точке K. Положим  ∠B = ∠A = 2α.  Тогда  ∠EBI = ∠DBI = α,  BIE = 90° – α = ∠BDK,  ∠BIO = 180° – ∠BIE = 90° + α.

  Сумма противоположных углов BIO и BDO четырёхугольника KDBO равна 180°, то есть он – вписанный. Вписанные углы BDI и BOI его описанной окружности равны. Кроме того, BOI – внешний угол равнобедренного треугольника BOC. Значит,  ∠BDI = ∠BOI = 2∠BCE = 180° – 4α = ∠DCA.  Следовательно, DI || AC .
  Случай, когда точка I лежит между точками O и C  (∠B < 60°)  разбирается аналогично.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6531
олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1996
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 9
задача
Номер 96.5.9.6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .