Информация о задаче

Задача 108571

Темы:	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Опустим из любой точки P биссектрисы угла A треугольника ABC перпендикуляры PA₁, PB₁, PC₁ на его стороны BC, CA и AB соответственно. Пусть R — точка пересечения прямых PA₁ и B₁C₁. Докажите, что прямая AR делит сторону BC пополам.

Подсказка

Через точку R проведите прямую, параллельную BC.

Решение

Через точку R проведём прямую, параллельную стороне BC. Обозначим точки её пересечения со сторонами AB и AC через C₂ и B₂ соответственно. Ясно, что если R — середина отрезка C₂B₂, то прямая AR делит сторону BC пополам.

Поскольку отрезок PB₂ виден из точек R и B₁ под прямым углом, то точки P, R, B₁ и B₂ лежат на одной окружности. Поэтому

$\displaystyle \angle$ C₂B₂P = $\displaystyle \angle$ RB₂P = $\displaystyle \angle$ RB₁P = $\displaystyle \angle$ C₁B₁P.

Аналогично $\angle$ B₂C₂P = $\angle$ B₁C₁P.

Поскольку точка P лежит на биссектрисе угла BAC, то PB₁ = PC₁. Поэтому $\angle$ C₁B₁P = $\angle$ B₁C₁P. Следовательно, $\angle$ C₂B₂P = $\angle$ B₂C₂P. Тогда высота равнобедренного треугольника C₂B₂P является его медианой, т.е. R — середина отрезка C₂B₂.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4847