ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108611
Темы:    [ Неравенства для элементов треугольника. ]
[ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ]
[ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть a, b, c – длины сторон BC, AC, AB треугольника ABC,  γ = ∠C.  Докажите, что  c ≥ (a + b) sin γ/2.


Решение 1

Пусть l – длина биссектрисы угла C, h – длина высоты, опущенной на сторону AB. Тогда   cl ≥ ch = 2SABC = SACK + SBCK = al sin γ/2 + bl sin γ/2.


Решение 2

На продолжении стороны BC за точку C отложим отрезок  CD = b.  Из теоремы о внешнем угле треугольника следует, что в равнобедренном треугольнике ACD угол при вершине D равен γ/2. Пусть H – проекция точки B на прямую AD. Тогда   c = AB ≥ BH = BD sin ∠ADB = (BC + CD) sin γ/2 = (a + b) sin γ/2.

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4297
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1984/1985
Номер 6
вариант
Вариант весенний тур, основной вариант, 7-8 класс
Задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .