ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]      



Задача 108611  (#1)

Темы:   [ Неравенства для элементов треугольника. ]
[ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ]
[ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Пусть a, b, c – длины сторон BC, AC, AB треугольника ABC,  γ = ∠C.  Докажите, что  c ≥ (a + b) sin γ/2.

Прислать комментарий     Решение

Задача 97865  (#2)

Темы:   [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ]
[ Рациональные и иррациональные числа ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Автор: Варге И.

а) Привести пример такого положительного a, что  {a} + {1/a} = 1.
б) Может ли такое a быть рациональным числом?

Прислать комментарий     Решение

Задача 97876  (#3)

Темы:   [ Объединение, пересечение и разность множеств ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Доказательство от противного ]
[ Линейная и полилинейная алгебра ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Фольклор

В классе 32 ученика. Было организовано 33 кружка, причём каждый кружок состоит из трёх человек и никакие два кружка не совпадают по составу. Доказать, что найдутся такие два кружка, которые пересекаются ровно по одному ученику.

Прислать комментарий     Решение

Задача 97867  (#4)

Темы:   [ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ]
[ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
[ Площадь параллелограмма ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9

Квадрат разбит на пять прямоугольников так, что четыре угла квадрата являются углами четырёх прямоугольников, площади которых равны между собой, а пятый прямоугольник не имеет общих точек со сторонами квадрата. Докажите, что этот пятый прямоугольник есть квадрат.

Прислать комментарий     Решение

Задача 97868  (#5)

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Подсчет двумя способами ]
[ Доказательство от противного ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9,10

В таблицу 10×10 нужно записать в каком-то порядке цифры  0, 1, 2, 3, ..., 9  так, что каждая цифра встречалась бы 10 раз.
  а) Можно ли это сделать так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце встречалось не более четырёх различных цифр?
  б) Докажите, что найдётся строка или столбец, в которой (в котором) встречается не меньше четырёх различных чисел.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .