ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 97865
Темы:    [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ]
[ Рациональные и иррациональные числа ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Варге И.

а) Привести пример такого положительного a, что  {a} + {1/a} = 1.
б) Может ли такое a быть рациональным числом?


Решение 1

  а) Возьмём  a = 2 + .  Поскольку  (2 + koren iz 3)(2 – koren iz 3) = 1,  {a} + {1/a} = (koren iz 3 – 1) + (2 – koren iz 3) = 1.

  б) Допустим, что число a рационально, и представим его в виде несократимой дроби:  a = m/n.  Если  {a} + {1/a} = 1,  то, очевидно,  a + 1/a  – целое число; обозначим его через k. Итак,  m/n + n/m = k,  то есть  m² + n² = kmn.  Отсюда следует, что m² делится на n, а n² – на m, а поскольку m и n взаимно просты, это возможно лишь при  |m| = |n| = 1,  то есть при  a = ±1.  Но в этом случае  {a} + {1/a} = 0.  Противоречие.


Решение 2

  Из условия следует, что  a + 1/a  – целое число, однако для несократимой дроби  a = p/q  это невозможно: дробь     также несократима.
 Таким образом, равенство выполняется тогда и только тогда, когда  a + 1/a  равно целому числу n, причём a не целое. Поскольку уравнение
a² – na + 1 = 0  при  n > 2  не может иметь рациональных корней (см. задачу 61013), ответ в пункте б отрицательный.
  В качестве примера (пункт а) требуется только решить это уравнение, например, при  n = 3.


Ответ

а) Например,  a = 2 + koren iz 3.   б) Не может.

Замечания

баллы: 3 + 5

Источники и прецеденты использования

журнал
Название "Квант"
год
Год 1985
выпуск
Номер 11
Задача
Номер М952
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1984/1985
Номер 6
вариант
Вариант весенний тур, основной вариант, 7-8 класс
Задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .