ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 61013
Темы:    [ Целочисленные и целозначные многочлены ]
[ Рациональные и иррациональные числа ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
Название задачи: Теорема о рациональных корнях многочлена.
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что если  (p, q) = 1  и  p/q  – рациональный корень многочлена  P(x) = anxn + ... + a1x + a0  с целыми коэффициентами, то
  а)  a0 делится на p;
  б)  an делится на q.


Решение

Условие  f(p/q) = 0  можно записать в виде  a0qn + a1pqn–1 + ... + anpn = 0.  Все слагаемые в левой части, кроме первого, кратны p, значит, и a0qn делится на p. Но p и q взаимно просты, следовательно, a0 делится на p. Аналогично доказывается, что an кратно q.

Замечания

Эти соотношения позволяют перечислить все рациональные числа, которые могут быть корнями данного многочлена.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 6
Название Многочлены
Тема Многочлены
параграф
Номер 3
Название Разложение на множители
Тема Формулы сокращенного умножения
задача
Номер 06.090

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .