Задача 108649

Темы:    [ Вспомогательная окружность ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Пятиугольники ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

В выпуклом пятиугольнике ABCDE  AB = BC,  ∠ABE + ∠DBC = ∠EBD  и   ∠AEB + ∠BDC = 180°.
Докажите, что ортоцентр треугольника BDE лежит на диагонали AC.

Решение

  На стороне AB пятиугольника ABCDE построим вне пятиугольника треугольник BAE₁, равный треугольнику BCD. Поскольку  BE₁ = BD  и
∠E₁BE = ∠EBD, треугольники E₁BE и DBE равны. Четырёхугольник AE₁BE – вписанный, так как  AEB + ∠ AE₁B = ∠AEB + ∠BDC = 180°.
  Описанные окружности Ω и Ω₁ треугольников E₁BE и DBE симметричны относительно BE, поэтому ортоцентр O треугольника BDE лежит на Ω (см. задачу 55463). Следовательно,  ∠BOA = ∠BEA.  Аналогично,  ∠BOC = BDC.  Значит,  ∠AOB + ∠BOC = 180°,  то есть точка O лежит на прямой AC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4465