ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108649
Темы:    [ Вспомогательная окружность ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Пятиугольники ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В выпуклом пятиугольнике ABCDE  AB = BC,  ∠ABE + ∠DBC = ∠EBD  и   ∠AEB + ∠BDC = 180°.
Докажите, что ортоцентр треугольника BDE лежит на диагонали AC.


Решение

  На стороне AB пятиугольника ABCDE построим вне пятиугольника треугольник BAE1, равный треугольнику BCD. Поскольку  BE1 = BD  и
E1BE = ∠EBD, треугольники E1BE и DBE равны. Четырёхугольник AE1BE – вписанный, так как  AEB + ∠ AE1B = ∠AEB + ∠BDC = 180°.
  Описанные окружности Ω и Ω1 треугольников E1BE и DBE симметричны относительно BE, поэтому ортоцентр O треугольника BDE лежит на Ω (см. задачу 55463). Следовательно,  ∠BOA = ∠BEA.  Аналогично,  ∠BOC = BDC.  Значит,  ∠AOB + ∠BOC = 180°,  то есть точка O лежит на прямой AC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4465

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .