ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108906
Темы:    [ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Замечательное свойство трапеции ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

CL – биссектриса треугольника ABC , AC < BC . На прямой, параллельной CL и проходящей через вершину B , выбрана такая точка M , что LM=LB . На отрезке CM выбрана такая точка K , что отрезок AK делится прямой CL пополам. Докажите, что CAK = ABC .
Также доступны документы в формате TeX

Решение

Докажем сначала следующее утверждение: если точки P и Q лежат на сторонах XY и YZ треугольника XYZ , а медиана YS делит пополам отрезок PQ , то PQ || XZ . Пусть точки P и Q лежат на сторонах XY и YZ соответственно, а медиана YS пересекает отрезок PQ в точке T (рис.1). Предположим, что прямая PQ не параллельна XZ . Через точку Q проведём прямую, параллельную XZ . Если проведённая прямая пересекает сторону XY в точке P' , то XP'QZ – трапеция. По замечательному свойству трапеции точки Y , S и середина T' основания QP' лежат на одной прямой. Тогда средняя линия TT' треугольника QPP' параллельна прямой PP' , т.е. прямой XY , что невозможно, т.к. прямые XY и TT' пересекаются в точке Y . Утверждение доказано. Перейдём к нашей задаче (рис.2). При симметрии относительно биссектрисы CL вершина B перейдёт в точку B' , лежащую на прямой AC . При этом BB' CL и CL || BM , поэтому BB' BM . Поскольку LM=LB=LB' , точка L – центр окружности, проходящей через вершины прямоугольного треугольника BB'M , т.е. середина гипотенузы B'M . Таким образом, медиана CL треугольника B'MC проходит через середину отрезка AK с концами на сторонах CB' и CM . Тогда, по доказанному, AK || B'M . Значит,

CAK = MB'C = LB'C = LBC = ABC.

Что и требовалось доказать.
Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6256

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .