Задача 108921

Темы:    [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Теорема косинусов ] [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Высота BN и медиана CM треугольника ABC пересекаются в точке K. Известно, что  ∠A = 60°,  CK = 6  и  KM = 1.  Найдите углы треугольника ABC.

Решение

Пусть  AB = 4x,  тогда  AN = 2x.  Опустим перпендикуляр MD из точки M на сторону AC. Тогда D – середина AN. По теореме Фалеса
DN : NC = MK : KC = 1 : 6.  Поэтому  NC = 6DN = 6x,  AC = 8x.  Таким образом, в треугольнике ABC известно, что  AC = 2AB  и  ∠A = 60°.  Значит, этот треугольник – прямоугольный.

Ответ

∠B = 90°,  ∠C = 30°.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6272