|
|
 |
Условие
В пирамиде ABCD точки M, F и K – середины рёбер BC, AD и CD соответственно. На прямых AM и CF взяты соответственно точки P и Q, причём
PQ || BK. Найдите отношение PQ : BK.
Решение
Пусть E – середина CK. Тогда ME || BK. Пусть прямые AE и CF пересекаются в точке Q'. В плоскости AEM через точку Q' проведём прямую, параллельную EM. Пусть эта прямая пересекает AM в точке
P'. Тогда точки Q' и P' удовлетворяют условию задачи. В самом деле, они лежат на прямых CF и AM, причём P'Q' || ME || BK. Поэтому точки P' и Q' совпадают с точками P и Q соответственно.
Рассмотрим плоскость ADC. Через точку A проведём прямую,
параллельную DC, и продолжим CF до пересечения с этой прямой в
точке T. Тогда треугольник ATF равен треугольнику DCF, а
треугольник ATQ подобен треугольнику ECQ с коэффициентом, равным
AQ/EQ = AT/EC = CD/EC = 4.
Поэтому PQ = ME·AQ/AE = ME·1/5 = 2/5 BK.
Ответ
2 : 5.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 8145 |
