ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109485
Темы:    [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
[ Перебор случаев ]
[ Простые числа и их свойства ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Каким может быть произведение нескольких различных простых чисел, если оно кратно каждому из них, уменьшенному на 1?
Найдите все возможные значения этого произведения.


Решение

  Пусть  N = p1p2... pk  (k ≥ 2) – произведение нескольких различных простых чисел  p1 < p2 < ... < pk,  удовлетворяющее условию задачи. Поскольку по условию N кратно чётному числу  p2 – 1,  оно само чётно и  p1 = 2.  Число  N = p1p2...pk  имеет единственный делитель p1 из интервала  (1, p2),  но  p2 – 1  также принадлежит этому интервалу, значит,  p2 – 1 = p1 = 2.  Таким образом,  p2 = 3,  а N может принимать значение  2·3 = 6.
  Если  k ≥ 3,  то по условию число  p3 – 1,  принадлежащее интервалу  (p2, p3),  является делителем числа N. Этому интервалу может принадлежать единственный делитель N – число  p1p2 = 6.  Следовательно,  p3 = p1p2 + 1 = 7.  Число  2·3·7 = 42  удовлетворяет условию задачи.
  Если  k ≥ 4,  то по условию чётное число  p4 – 1,  принадлежащее интервалу  (p3, p4),  также является делителем N. Из чётных делителей числа N этому интервалу могут принадлежать лишь числа  p1p3 = 14  и  p1p2p3 = 42. Число  15 = p1p3 + 1  является составным, значит,  p4 = p1p2 p3 + 1 = 43.  Число  2·3·7·43 = 1806  удовлетворяет условию задачи.
  Если  k ≥ 5,  то по условию чётное число  p5 – 1,  принадлежащее интервалу  (p4, p5),  также должно являться делителем N. Из чётных делителей числа N этому интервалу могут принадлежать лишь числа  p1p4 = 86,  p1p2p4 = 258,  p1p3p4 = 602  и  p1p3p3p4 = 1806.  Каждое из чисел 87, 259, 603, 1807 является составным. Значит, у числа N не может быть более четырёх различных простых делителей.


Ответ

6, 42, 1806.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 70
Год 2007
вариант
Класс 11
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .