Задача 109585
|
|
 |
Условие
Найдите свободный член многочлена P(x) с целыми коэффициентами, если известно, что он по модулю меньше тысячи, и P(19) = P(94) = 1994.
Решение
Пусть a0 – свободный член многочлена P(x). Тогда P(x) = xQ(x) + a0, где Q(x) – многочлен с целыми коэффициентами. Поэтому P(19) = 19n + a0, а P(94) = 94m + a0, где m и n – целые числа. Из условия вытекает, что 19n = 94m, следовательно, n = 94k, m = 19k. Итак, 19·94k + a0 = 1994, откуда
a0 = 1994 – 1786k. Из условия |a0| < 1000 следует, что k = 1, и a0 = 208.
Ответ
208.
