ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109600
Темы:    [ Процессы и операции ]
[ Арифметическая прогрессия ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Ню В.

На карусели с n сиденьями мальчик катался n сеансов подряд. После каждого сеанса он вставал и, двигаясь по часовой стрелке, пересаживался на другое сиденье. Число сидений карусели, мимо которых мальчик проходит при пересаживании, включая и то, на которое он садится, назовём длиной перехода. При каких n за n сеансов мальчик мог побывать на каждом сиденье, если длины всех n – 1  переходов различны и меньше n?


Решение

  Пусть n нечётно. Тогда сумма длин всех  n – 1  переходов равна  1 + 2 + ... + (n – 1) = ½ n(n – 1),  то есть делится на n. Это означает, что после  n – 1  переходов мальчик оказался на том же месте, с которого он начал кататься, и, значит, на каком-то из сидений он не побывал.
  Пусть n чётно. Мальчик мог побывать на каждом сиденье при следующих длинах переходов: 1,  n – 2,  3,  n – 4,  n – 5,  4,  n –3,  2,  n – 1  (то есть мальчик побывал последовательно на сиденьях с номерами 1, 2, n, 3,  n – 1,  n/2 – 1, n/2 + 3,  n/2,  n/2 + 2,  n/2 + 1).


Ответ

При чётных n.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1995
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 11
задача
Номер 95.5.11.6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .