ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109961
Темы:    [ Системы точек ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Взаимное расположение двух окружностей ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На плоскости дано множество из n9 точек. Для любых 9 его точек можно выбрать две окружности так, что все эти точки окажутся на выбранных окружностях. Докажите, что все n точек лежат на двух окружностях.

Решение

Так как любые 9 точек лежат на двух окружностях, то найдется окружность O , на которой лежит не менее 5 точек. Рассмотрим все точки множества, не лежащие на O . Если таких точек четыре или меньше, то утверждение задачи верно. Действительно, дополнив их точками окружности O до девяти, получим, что они лежат на двух окружностях, на одной из которых лежат три дополняющих точки, поэтому это O . Значит, все наши точки лежат на другой окружности.

Пусть вне окружности O лежит не менее пяти точек.
Возьмем пять точек A1 , A5 на O и три точки B1 , B2 , B3 вне O . Через точки B1 , B2 , B3 проходит единственная окружность O1 . Возьмем точку B , отличную от точек A1 , A5 , B1 , B2 , B3 . По условию существуют две окружности O' и O'1 , содержащие все точки A1 , A2 , A5 , B1 , B2 , B3 , B .
Тогда опять одна из окружностей O' и O'1 совпадает с O .
Поскольку точки B1 , B2 , B3 не лежат на окружности O , все они оказываются на той из окружностей O' или O'1 , которая не совпадает с O , и эта вторая окружность тем самым совпадает с O1 . Получается, что точка B лежит либо на O , либо на O1 , что завершает доказательство.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1998
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 8
задача
Номер 98.4.8.4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .