ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 110004
Темы:    [ Системы точек ]
[ Прямые и плоскости в пространстве (прочее) ]
[ Объединение, пересечение и разность множеств ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В пространстве даны n точек общего положения (никакие три не лежат на одной прямой, никакие четыре не лежат в одной плоскости). Через каждые три из них проведена плоскость. Докажите, что какие бы n-3 точки в пространстве ни взять, найдется плоскость из проведенных, не содержащая ни одной из этих n-3 точек.

Решение

Обозначим через M исходное множество из n точек. Пусть A – произвольное подмножество из n-3 точек. Возьмем точку x из множества M , не принадлежащую A . Через x и остальные точки множества M проведем n-1 прямую и возьмем прямую, не пересекающую A . Через эту прямую и оставшиеся n-2 точки множества M проведем n-2 плоскости. Одна из плоскостей не пересекает A , так как плоскостей n-2 , а множество A состоит из n-3 элементов. Эта плоскость и является искомой.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1999
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 10
задача
Номер 99.4.10.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .