ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 110072
Темы:    [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]
[ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]
[ Геометрия на клетчатой бумаге ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Лифшиц Ю.

Мишень представляет собой треугольник, разбитый тремя семействами параллельных прямых на 100 равных правильных треугольничков с единичными сторонами. Снайпер стреляет по мишени. Он целится в треугольничек и попадает либо в него, либо в один из соседних с ним по стороне. Он видит результаты своей стрельбы и может выбирать, когда стрельбу заканчивать. Какое наибольшее число треугольничков он может с гарантией поразить ровно пять раз?

Решение



Покажем, что стреляющий может добиться 25 призовых мишеней. Рассмотрим разбиение мишени на 25 треугольных кусков 2×2 , т.е. состоящие из четырех треугольников (см. рис.) . Тогда, стреляя в центр каждого из них до тех пор, пока в одном из четырех треугольников куска не накопится пять попаданий, он получит ровно 25 призовых мишеней.
Покажем, что стрелок не может гарантировать себе большего количества. Действительно, при стрельбе в произвольный треугольничек какого-то куска стрелок может всегда попадать в центральный треугольничек этого куска. Тогда призовых мишеней будет не больше 25, так как в остальные он не попадет ни разу.

Ответ

25.00

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2001
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 9
задача
Номер 01.4.9.4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .