Задача 110084

Темы:    [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Средняя линия треугольника ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Ортогональная (прямоугольная) проекция ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Емельянов Л.А.

Докажите, что любой треугольник можно разрезать не более чем на три части, из которых складывается равнобедренный треугольник.

Решение

Пусть AC – большая сторона треугольника ABC, A₁C₁ – средняя линия, параллельная AC, а M – середина A₁C₁. Так как углы A и C – острые, то M проектируется внутрь отрезка AC, пусть B₁ – эта проекция (см. рис.). Проведём два разреза B₁C₁ и B₁A₁. Так как B₁M – медиана и высота треугольника A₁B₁C₁, то  C₁B₁ = A₁B₁. Пусть точка Q симметрична B₁ относительно A₁, точка P симметрична B₁ относительно C₁. Тогда треугольники BQA₁ и CB₁A₁ равны, треугольники AC₁B₁ и BC₁P также равны. Равные отрезки B₁C₁ и B₁A₁ – половины сторон треугольника PB₁Q, значит, он равнобедренный.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2001
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	8
задача
Номер	01.4.8.8