Задача 110203

Темы:    [ Биссектриса делит дугу пополам ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Емельянов Л.А.

Биссектрисы углов A и C треугольника ABC пересекают его стороны в точках A₁ и C₁, а описанную окружность этого треугольника – в точках A₀ и C₀ соответственно. Прямые A₁C₁ и A₀C₀ пересекаются в точке P. Докажите, что отрезок, соединяющий P с центром вписанной окружности треугольника ABC, параллелен AC.

Решение

  Обозначим центр вписанной окружности через I. Заметим, что  ∠IAC₀ = ∠IAB + ∠BAC₀ = ∠IAC + ∠ICA = ∠AIC₀,  то есть треугольник AIC₀ – равнобедренный,  C₀A = C₀I.  Кроме того,  ∠C₀AC₁ = ∠C₀CA,  поэтому треугольники C₀AC₁ и C₀CA подобны по двум углам. Следовательно,
C₀A : C₀C₁ = C₀C : C₀A,  то есть  C₀I : C₀C₁ = C₀C : C₀I

  Проведём через точку I прямые l и m, параллельные AC и A₁C₁ соответственно. Пусть P' – точка пересечения прямых l и A₁C₁, а Q – точка пересечения m и AC. Из доказанного соотношения следует, что при гомотетии с центром C₀, переводящей C₁ в I, точка I переходит в C, прямые l и A₁C₁ – в AC и m соответственно; поэтому точка P' переходит в Q. Следовательно, C₀ лежит на прямой P'Q. Аналогично A₀ лежит на прямой P'Q, поэтому прямые P'Q и A₀C₀ совпадают, P' лежит на A₀C₀ и совпадает с P, что и требовалось.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2006
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	11
задача
Номер	06.4.11.4