В выпуклом шестиугольнике ABCDEF все внутренние углы при вершинах равны. Известно, что AB = 3, BC = 4, CD = 5 и EF = 1. Найдите длины сторон DE и AF.

   Решение

На плоскости дано бесконечное множество прямоугольников, вершины каждого из которых расположены в точках с координатами (0, 0), (0, m), (n, 0), (n, m), где n и m — целые положительные числа (свои для каждого прямоугольника). Докажите, что из этих прямоугольников можно выбрать два так, чтобы один содержался в другом.

   Решение

Несколько человек в течение t минут наблюдали за улиткой. Каждый наблюдал за ней ровно 1 минуту и заметил, что за эту минуту улитка проползла ровно 1 метр. Ни в один момент времени улитка не оставалась без наблюдения. Какой наименьший и какой наибольший путь могла она проползти за эти t минут?

   Решение

Докажите, что если для вписанного четырехугольника ABCD выполнено равенство CD = AD + BC, то точка пересечения биссектрис углов A и B лежит на стороне CD.

   Решение

Темы:    [ Сфера, касающаяся ребер или сторон пирамиды ] [ Описанные четырехугольники ] [ Двугранный угол ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Сфера касается боковых граней четырёхугольной пирамиды SABCD в точках, лежащих на рёбрах AB , BC , CD , DA . Известно, что высота пирамиды равна , AB=8 , SA=4 , SB=8 , SC=4 . Найдите длины рёбер BC и CD , радиус сферы и двугранный угол при ребре SD .

Ответ

BC=16 , CD= ; R=3 ; ϕ = 2 arcsin .

Источники и прецеденты использования