ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111353
Темы:    [ Тождественные преобразования ]
[ Процессы и операции ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На бумажке записаны три положительных числа x, y и 1. За один ход разрешается записать на бумажку сумму или разность каких-нибудь двух уже записанных чисел или записать число, обратное к какому-нибудь из уже записанных чисел. Можно ли за несколько ходов получить на бумажке
 a) число x²?   б) число xy?


Решение

  a) Например, так (числа записаны в порядке их появления):  1/x,  x + 1,  1/x+11/x²+x = 1/x1/x+1x² + x,  x².

  б) Первый способ. Разделим одно из чисел на 2:  1/y1/y2/yy/2.  Далее, умея возводить в квадрат, за несколько шагов получим число
(x + y/2)² – x² – ( y/2)² = xy.

  Второй способ. Получаем число  2xy = (x + y)² – x² – y²,  а затем делим его пополам.


Ответ

Можно.

Замечания

1. Баллы: 2 + 2.

2. Задача также предлагалась в Задачнике "Кванта" ("Квант", 2008, №2, зад. М2081).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 29
Дата 2007/2008
вариант
Вариант осенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .