Задача 111512

Темы:    [ Отношение площадей треугольников с общим углом ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна a , основание равно b . Вписанная в этот треугольник окружность касается его сторон в точках M , N и K . Найдите площадь треугольника MNK .

Решение

Пусть окружность, вписанная в равнобедренный треугольник ABC , касается основания AC в точке M , а боковых сторон BC и AB – в точках N и K соответственно. Тогда M – середина основания AC ,

CN=CM = , AK = AM = , BK=BN=a-.
Обозначим S_{Δ ABC} = S . Тогда
S_{Δ BKN} = · S = · S= (1-)2S,

S_{Δ CMN}= S_{Δ AKM} = · S= · S= S,
поэтому
S_{Δ MNK} = S-S_{Δ BKN}-2S_{Δ AKM}= S(1-(1-)2-)=

=S(1-)· = S· ,
а т.к.
S=b=,
то
S_{Δ MNK} = S· = · = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4597