Задача 111530

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Найдите катеты прямоугольного треугольника, если известно, что радиус описанной около треугольника окружности равен R , а радиус вписанной в него окружности равен r . При каком отношении задача имеет решение?

Решение

Пусть окружность с центром O , вписанная в прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C , касается гипотенузы AB=2R в точке K , а катетов AC и BC – в точках M и L соответственно. Обозначим AC=x . Четырёхугольник OMCL – квадрат, поэтому

CM = OL = r, AK=AM = AC-CM = x-r,

BL=BK=AB-AK =2R-(x-r) = 2R+r-x,

BC = BL+CL = 2R+r-x+r = 2(R+r)-x.
По теореме Пифагора AB2 = AC2+BC2 , или
4R2 = x2 + (2(R+r)-x)2 x2-2x(R+r) + 4Rr+2r2

x= r+R .
Таким обрзом, либо AC=r+R + и BC=r+R - , либо AC=r+R - и BC=r+R + . Задача имеет решение, если R2-2rR-r2 0 , или ()2 - 2· - 1 0 , откуда 1+ .

Ответ

r+R , 1+ .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4615