ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111603
Темы:    [ Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения. ]
[ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Укажите все выпуклые четырёхугольники, у которых суммы синусов противолежащих углов равны.
Также доступны документы в формате TeX

Решение

Обозначим через α , β , γ и δ последовательные углы четырёхугольника. По условию задачи sin α+ sin γ = sin β + sin δ , а т.к. α+β+γ+δ = 360o , то sin δ= sin (360o -α-β -γ)=- sin (α+β +γ) , поэтому sin α+ sin γ = sin β - sin (α+β +γ) . Преобразуем это равенство, применяя формулы тригонометрии.

2 sin cos = -2 sin cos (β + ),

Заметим, что α+γ 360o , поэтому sin 0 , значит,
cos = - cos (β + ), cos + cos (β + )=0,


2 cos cos , cos cos = 0,

откуда находим, что cos =0 или cos =0 , значит, α+β = 180o или γ+β=180o , а т.к. углы α и β прилежат к одной стороне четырёхугольника, то в первом случае две противоположные стороны парараллельны, а во втором – две другие. Следовательно, четырёхугольник – либо трапеция, либо параллелограмм.
Также доступны документы в формате TeX

Ответ

Параллелограмм или трапеция.
Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4698

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .