ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111692
Темы:    [ Трапеции (прочее) ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
[ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дана неравнобокая трапеция ABCD. Точка A1 – это точка пересечения описанной окружности треугольника BCD с прямой AC,
отличная от C. Аналогично определяются точки B1, C1, D1. Докажите, что A1B1C1D1 – тоже трапеция.


Решение

  Пусть O – точка пересечения диагоналей трапеции ABCD. Так как четырёхугольник A1BCD вписан в окружность, то  BO·OD = A1O·OC.  Аналогично
BO·OD = AO·OC1AO·OC = BO·OD1  и  AO·OC = B1O·OD.
  Из первых двух равенств следует, что  OC : AO = OC1 : A1O,  из двух других –  BO : OD = B1O : OD1.
  Условие параллельности сторон BC и AD трапеции ABCD можно записать в виде  BO : OD = OC : AO  (из подобия треугольников BOC и DOA).
  Но тогда  BO1 : OD1 = OC1 : A1O,  то есть  B1C1 || A1D1.
  Аналогично проверяем, что из непараллельности сторон AB и CD следует непараллельность сторон A1B1 и C1D1.
  Таким образом, A1B1C1D1 – трапеция.

Замечания

6 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2008/2009
Номер 30
вариант
Вариант осенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .