Задача 111807
|
|
 |
Условие
По кругу расставлены красные и синие числа. Каждое красное число равно сумме соседних чисел, а каждое синее– полусумме соседних чисел. Докажите, что сумма красных чисел равна нулю.
Решение
Пусть a , b , c – три числа, стоящие подряд. Если b – красное, то b=a+c , а если b – синее, то 2b=a+c . Запишем такие равенства для всех троек последовательных чисел и сложим их. В правой части получится удвоенная сумма всех чисел, а в левой– сумма красных плюс удвоенная сумма синих. Тогда, если R – сумма всех красных чисел, а B – сумма всех синих, то мы получим равенство R+2B=2(R+B) , откуда R=0 .
