ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      



Задача 111810  (#08.4.9.1)

Тема:   [ Тождественные преобразования ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Числа a, b, c таковы, что  a²(b + c) = b²(a + c) = 2008  и  a ≠ b.  Найдите значение выражения  c²(a + b).

Прислать комментарий     Решение

Задача 111811  (#08.4.9.2)

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Процессы и операции ]
[ Четность и нечетность ]
[ Инварианты ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

В клетках квадрата 5×5 изначально были записаны нули. Каждую минуту Вася выбирал две клетки с общей стороной и либо прибавлял по единице к числам в них, либо вычитал из них по единице. Через некоторое время оказалось, что суммы чисел во всех строках и столбцах равны. Докажите, что это произошло через чётное число минут.

Прислать комментарий     Решение

Задача 111812  (#08.4.9.3)

Темы:   [ Свойства симметрий и осей симметрии ]
[ Шестиугольники ]
[ Равные треугольники. Признаки равенства (прочее) ]
[ Ромбы. Признаки и свойства ]
[ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ]
Сложность: 4-
Классы: 9

Дан выпуклый шестиугольник P1P2P3P4P5P6, все стороны которого равны. Каждую его вершину отразили симметрично относительно прямой, проходящей через две соседние вершины. Полученные точки обозначили через Q1, Q2, Q3, Q4, Q5 и Q6 соответственно. Докажите, что треугольники Q1Q3Q5 и Q2Q4Q6 равны.

Прислать комментарий     Решение

Задача 111813  (#08.4.9.4)

Темы:   [ Свойства коэффициентов многочлена ]
[ Обыкновенные дроби ]
[ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
[ Квадратный трехчлен (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Даны положительные рациональные числа a, b. Один из корней трёхчлена  x² – ax + b  – рациональное число, в несократимой записи имеющее вид  m/n.  Докажите, что знаменатель хотя бы одного из чисел a и b (в несократимой записи) не меньше n2/3.

Прислать комментарий     Решение

Задача 111814  (#08.4.9.5)

Темы:   [ Деление с остатком ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Дано натуральное число  n > 1.  Для каждого делителя d числа  n + 1,  Петя разделил число n на d с остатком и записал на доску неполное частное, а в тетрадь – остаток. Докажите, что наборы чисел на доске и в тетради совпадают.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .