|
|
 |
Условие
В каждой клетке квадрата 101×101, кроме центральной,
стоит один из двух знаков: "поворот" или "прямо". Машинка въезжает
извне в произвольную клетку на границе квадрата, после чего ездит
параллельно сторонам клеток, придерживаясь двух правил:
1) в клетке со знаком "прямо" она продолжает путь в том же направлении;
2) в клетке со знаком "поворот" она поворачивает на 90°
(в любую сторону по своему выбору).
Центральную клетку квадрата занимает дом. Можно ли расставить знаки так, чтобы у машинки не было возможности врезаться в дом?
Решение 1
Заметим, что если машинка может проехать из клетки A в клетку B, то она может проехать из клетки B в клетку A – проезжая тот же маршрут в обратном порядке. Поэтому достаточно доказать, что, выезжая из дома, машинка может выехать за границу квадрата.
Пусть знаки как-то расставлены. "Выпустим" машинку из дома. Пусть она движется согласно "правилам дорожного движения", поворачивая попеременно то вправо, то влево. Тогда она не может "зациклиться" и когда-то выйдет за пределы квадрата 101×101.
Решение 2
Если машинка въезжает в правый нижний угол, то какой бы знак там ни стоял, она может проехать как вверх, так и налево (в зависимости от того, въезжает она в эту клетку снизу или справа). Поэтому правый нижний угол можно выкинуть и считать, что машинка сразу въезжает в оставшуюся часть.
Самую правую клетку в нижнем ряду оставшейся части можно выкинуть аналогичным образом. Повторяя это рассуждение, каждый раз можно выкидывать из доски клетку, правее и ниже которой ничего нет, пока центральная клетка не станет доступна извне.
Ответ
Нельзя.
Замечания
5 баллов
Источники и прецеденты использования
| олимпиада | |
| Название | Московская математическая олимпиада |
| год | |
| Номер | 72 |
| Год | 2009 |
| Класс | |
| Класс | 8 |
| задача | |
| Номер | 4 |
| олимпиада | |
| Название | Московская математическая олимпиада |
| год | |
| Номер | 72 |
| Год | 2009 |
| класс | |
| Класс | 9 |
| задача | |
| Номер | 3 |
| олимпиада | |
| Название | Турнир городов |
| Турнир | |
| Дата | 2008/2009 |
| Номер | 30 |
| вариант | |
| Вариант | весенний тур, сложный вариант, 8-9 класс |
| задача | |
| Номер | 3 |
