Задача 115308

Темы:    [ Признаки равенства прямоугольных треугольников ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Биссектриса угла (ГМТ) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и BB₁. Биссектриса угла ACB пересекает эти высоты в точках L и K соответственно.
Докажите, что середина отрезка KL равноудалена от точек A₁ и B₁.

Решение

Пусть A₂ и B₂ – проекции середины M отрезка KL на прямые BC и AC соответственно, P – проекция точки K на BC, а Q – проекция точки L на AC. Точка M лежит на биссектрисе угла C, поэтому  MA₂ = MB₂.  При симметрии относительно биссектрисы CM отрезок PA₁ перейдёт в равный ему отрезок B₁Q, а так как M – середина FL, то A₂ и B₂ – середины этих отрезков, поэтому  A₁A₂ = B₁B₂.  Значит, прямоугольные треугольники MA₂A₁ и MB₂B₁ равны по двум катетам. Следовательно,  MA₁ = MB₁.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3414