Задача 115317

Темы:    [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Шестиугольники ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В выпуклом шестиугольнике ABCDEF диагонали AD, BE и CF равны. Пусть P – точка пересечения диагналей AD и CF, R – точка пересечения диагоналей BE и CF, Q – точка пересечения диагоналей AD и BE. Известно, что  AP = PF,  BR = CR  и  DQ = EQ.  Докажите, что точки A, B, C, D, E и F лежат на одной окружности.

Решение

  Рассмотрим случай, изображенный на рисунке. Пусть O – центр вписанной окружности треугольника PQR. Тогда луч OP содержит биссектрису угла APF, а так как треугольник APF равнобедренный, то прямая PO – серединный перпендикуляр к отрезку AF, значит,  OA = OF.  Аналогично
OB = OC  и  OD = OE.  Кроме того,  ∠OAP = ∠OAF – ∠PAF = ∠OFA – ∠PFA = ∠OFP.

  Треугольники AOD и FOC равны по двум сторонам и углу между ними  (AO = OF,  AD = FC  и  ∠OAD = ∠OFC),  значит,  OD = OC.  Аналогично
OA = OB.  Следовательно,  OF = OA = OB = OC = OD = OE,  то есть O – центр окружности, проходящей через точки A, B, C, D, E и F.
  Аналогично разбираются остальные случаи.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6321