Версия для печати
Убрать все задачи

---

Пешеход шёл 3,5 часа, причём за каждый промежуток времени в один час он проходил ровно 5 км.
Следует ли из этого, что его средняя скорость за всё время равна 5 км/час?

   Решение

---

Доктор Айболит раздал четырём заболевшим зверям 2006 чудодейственных таблеток. Носорог получил на одну больше, чем крокодил, бегемот на одну больше, чем носорог, а слон — на одну больше, чем бегемот. Сколько таблеток придётся съесть слону?

   Решение

---

Даны точки A и B. Для каждой точки M, не совпадающей с точкой B и лежащей на прямой AB, рассмотрим отношение  AM : BM.
Где расположены точки, для которых это отношение
 а) больше 2,   б) меньше 2?

   Решение

---

На столе лежат 2023 игральных кубика. За 1 рубль можно выбрать любой кубик и переставить его на любую из четырёх граней, которые сейчас для него боковые. За какое наименьшее количество рублей гарантированно удастся поставить все кубики так, чтобы на верхних гранях у них было поровну точек? (Количества точек на гранях каждого игрального кубика равны числам 1, 2, 3, 4, 5, 6, суммарное число точек на противоположных гранях всегда равно 7.)

   Решение

---

AK – биссектриса треугольника ABC, P и Q – точки на двух других биссектрисах (или на их продолжениях) такие, что  PA = PK  и  QA = QK.
Докажите, что  ∠PAQ = 90° – ½ ∠A.

   Решение

Темы:    [ Против большей стороны лежит больший угол ] [ Вспомогательные равные треугольники ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Внутри треугольника ABC отмечена точка M так, что при этом  ∠BAM = ∠B,  ∠AMB = 100°,  ∠C = 70°.  Докажите, что  BM < AC.

Решение

  На луче BC отложим отрезок BK, равный AM. Треугольник AKB равен треугольнику BMA по двум сторонам и углу между ними, значит,
∠BAK = ∠MBA < ∠B = ∠BAM < ∠A.  Следовательно, луч AK проходит между сторонами угла A, поэтому точка K лежит на отрезке BC. Из равенства треугольников AKB и BMA следует, что  ∠AKB = ∠AMB = 100°,  поэтому  ∠AKC = 180° – ∠AKB = 180° – 100° > 70° = ∠ ACK.
  В треугольнике AKC против большего угла AKC лежит большая сторона AC, то есть AC > AK = BM.

Источники и прецеденты использования