Версия для печати
Убрать все задачи

---

По шоссе в одном направлении едут 10 автомобилей. Шоссе проходит через несколько населённых пунктов. Каждый из автомобилей едет с некоторой постоянной скоростью в населённых пунктах и с некоторой другой постоянной скоростью вне населённых пунктов. Для разных автомобилей эти скорости могут отличаться. Вдоль шоссе расположено 2011 флажков. Известно, что каждый автомобиль проехал мимо каждого флажка, причём около флажков обгонов не происходило. Докажите, что мимо каких-то двух флажков автомобили проехали в одном и том же порядке.

   Решение

---

В остроугольном треугольнике ABC угол B равен 60^o, AM и CN — его высоты, а Q — середина стороны AC. Докажите, что треугольник MNQ — равносторонний.

   Решение

---

Четырехугольник ABCD описан около окружности с центром I . Докажите, что проекции точек B и D на прямые IA и IC лежат на одной окружности.

   Решение

---

Четырехзначное число начинается с цифры 6. Эту цифру переставили в конец числа. Полученное число оказалось на 1152 меньше исходного. Найдите исходное число.

   Решение

---

Найдите все двузначные числа, квадрат которых равен кубу суммы их цифр.

   Решение

Тема:    [ Измерение длин отрезков и мер углов. Смежные углы. ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Даны точки A и B. Для каждой точки M, не совпадающей с точкой B и лежащей на прямой AB, рассмотрим отношение  AM : BM.
Где расположены точки, для которых это отношение
 а) больше 2,   б) меньше 2?

Решение

  Пусть точка M₁ лежит на отрезке AB, причём  AM₁ : M₁B = 2.  Если M – призвольная точка, лежащая между M₁ и B, или M совпадает с B, то
AM > AM₁ > 2M₁B > 2MB.
  Пусть точка M₂ лежит на продолжении отрезка AB за точку B, причём B – середина отрезка AM₂. Если M – произвольная точка, лежащая между B и M₂, то
AB > BM,  поэтому  AM = AB + BM > 2BM.
  Если точка M лежит на отрезке AM₁ (но не совпадает с M₁), то  AM < AM₁ = 2M₁B < 2BM.
  Если точка M лежит на продолжении отрезка AB за точку A, то  AM < BM < 2BM.
  Если точка M лежит на продолжении отрезка M₁M₂ за точку M₂, то  AM = AB + BM < 2BM.

Ответ

Пусть M₁ и M₂ – точки, в которых указанное отношение равно 2.
а) Все отличные от B точки между M₁ и M₂;
б) все точки прямой, не лежащие на отрезке M₁M₂.

Источники и прецеденты использования